Тема: Фрактал. Міф чи реальність?

Мета: розглянути поняття фрак тала як елемента неевклідової геометрії. Розширити уявлення учнів про можливості геометрії як науки, її застосування у житті людини. Формувати уміння відчувати красу та гармонію навколишнього світу, бачити закономірності природи. За допомогою програми Paint NET навчити учнів редагувати деякі види фракталів, створювати свої.

Учитель:  Вивчаючи геометрію в 7-11 класах  ми знайомилися з її основними компонентами: чіткими фігурами, тілами; вивчали зв'язок між геометричними поняттями. Але в природі не завжди можна зустрітися з точними геометричними формами: трикутником, квадратом, пірамідою… .

 Все, що створене людиною, обмежене площинами. Коли зустрічається об’єкт у природі, то спочатку можна побачити, що описати його форму можна лише наближено. Й допоможуть в цьому фрактали. Де закінчуються правильні форми Евклідової геометрії, там зустрічаються фрактали.

Що це таке та який вигляд мають фрактали, де їх можна побачити – ми поговоримо про це на сьогоднішньому уроці.

Учениця: (вірш «Фрактали»)

(Виступи учнів, що готували повідомлення заздалегідь. Виступи ілюструються коип'ютерною презентацією «Фрактали. Початок»)

1. Фрактал - нерегулярна, самоподібна структура. У широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої.

Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в роботах Рона Еглаша "Африканські Фрактали", задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. У 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю "Керівництво Художника”, один із розділів якої має назву "Черепичні шаблони, утворені пентагонами". Пентагон Дюрера багато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали.

Ідею "рекурсивної самоподібності" було висунуто філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. У 1872 Карл Веєрштрасс знайшов приклад функції з неінтуітивною особливістю, скрізь неперервної, але ніде недиференційованої — графік цієї функції тепер називався б фракталом. У 1904 Хельга Фон Кох, незадоволений занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштрасса, розробив більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих, котрі складаються із частин, схожих на ціле, було далі розвинено Полем П'єром Леві, який у своїй роботі "Криві та поверхні на площині та у просторі", виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві

2.Розрізняють три типи самоподібності у фракталах:

Точна самоподібність — це найсильніший тип самоподібності; фрактал виглядає однаково при різних збільшеннях. У фракталів, згенерованих з використанням ітераційних функцій, часто виявляється точна самоподібність.

Майже самоподібність — слабка форма самоподібності; фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Майже самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних відношень, зазвичай є майже (але не точно) самоподібними.

Статистична самоподібність — це найслабкіша форма самоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при збільшенні. Найприйнятніші означення "фракталів" просто містять в собі деякий вид статистичної самоподібності (розмірність фракталу, саме по собі, є чисельною мірою, що зберігається при збільшенні). Ймовірнісні фрактали є прикладами фракталів, які є Бенуа Мандельброт в своїх книгах навів яскраві приклади вживання фракталів до пояснення деяких природних явищ. Мандельброт приділив велику увагу цікавій властивості, якою володіють багато фракталів. Річ у тому, що часто фрактал можна розбити на скільки завгодно малі частини так, що кожна частина виявиться просто зменшеною копією цілого. Інакше кажучи, якщо ми дивитимемося на фрактал в мікроскоп, то із здивуванням побачимо ту ж саму картину, що і без мікроскопа. Це властивість самоподібності різко відрізняє фрактали від об'єктів класичної геометрії.

Відеофільм «Фрактал Мандельброта»

Необхідно відзначити, що властивість самоподiбностi характерна лише для регулярних фракталів.Багато регулярних фракталів будуються шляхом нескiнченного повторення декількох простих операцій - заміною одного елементу деякою комбінацією інших, йому подібних. Потім ця ж операція повторюється з кожним з цих елементів, і так далі до нескінченності. На методі простої заміни заснований перший алгоритм побудови фракталів.татистично, але не майже й не точно самоподібними.

3.Деякі різновиди фракталів:

Серветка Серпінського

Дракон Хартера-Хейтуея

Алгебраїчні фрактали

Фрактал — це математична величина, що зустрічається досить часто. Але якщо добре не придивитися, його можна і не побачити. Абсолютно точна, алгебраїчна величина, яка творить собою неймовірні фігури, візерунки та складає цікаві орнаменти, що ми зустрічаємо кожного дня. Це і листя папороті, і маленькі сніжинки та ще багато іншого.

Учитель: Фрактали дуже часто зустрічаються в природі.

(Перегляд відеофільму «Фрактали – міф чи реальність?»)

Робота над комп'ютерною графікою:

Зараз ви самі спробуєте побачити красу фракталів за допомогою комп' ютерної програми

 Paint NET.

Робота учнів з програмою (редагування та зміна фракталів Мандельброта. В кінці уроку кожна група учнів презентує створені  малюнки.

Підсумок уроку: Сьогодні ми спробували відійти від чітких геометричних понять і форм та заглянути у світ природи та ілюзій. Ви побачили, що математика є всюди. Тільки треба вчитися її бачити навколо себе.

Вдома ви ще раз спробуєте видозмінювати фрактальні малюнки , можливо, створите свій і презентуєте на наступному уроці.